Леонард Эйлер атындағы олимпиада,
2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Есеп №1. Қандай да бір натурал $a$ санын қалдықпен 1, 2, 3, $\ldots$, 1000 сандарына бөлді. Қалдықтардың ішінде 0, 1, 2, 3, $\ldots$, 99 қалдықтары дәл 10 реттен кездесуі мүмкін бе? ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $\angle A = \angle C=100^\circ$. $AB$ және $BC$ қабырғаларынан $AX = CY$ болатындай сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелері белгіленген. Сонда $YD$ түзуі $ABC$ бұрышының биссектрисасына параллель болып шыққан. $AXY$ бұрышын табыңыз. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Ұзындығы 90 болатын шеңбер берілген. Ұштары осы нүктелерде болатын және 1-ден 89-ға дейінгі барлық бүтін ұзындықтары бар доғалар табылатындай шеңбер бойынан 10 нүкте белгілеп шығуға болады ма? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. 100-ден үлкен натурал тақ $a$ саны берілген. Тақтаға $\frac{a-{{n}^{2}}}{4}$ түріндегі барлық натурал сандарды жазып шықты, бұл жерде $n$ — натурал сан. $n\le \sqrt{a/5}$ болған жағдайда, олардың барлығы жай сандар екені белгілі. Ондай болса, қалған жазылған сандардың барлығы да жай немесе 1-ге тең сан екенін дәлелдеңіз. ( А. Храбров )
комментарий/решение(1)

---