Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2016-2017 учебный год, II тур заключительного этапа

Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Заметим, что $10$ точек образуют $90$ дуг. И так как дуга длины $45$ повторится два раза, то у нас должно быть $46$ дуг нечетных длины. Обозначим координату какой-то точки за ноль. Тогда если у нас есть $k$ точек с нечетными координатами и $10-k$ с четными, то $2(10-k)k=46 \Rightarrow (10-k)k=23$. А это уравнение не имеет решений при $k \in [0, 10]$, так как $23 \in \mathbb{P}$. Значит отменить нужным образом точки невозможно.