Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2016-2017 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 2-ші туры

Ұзындығы 90 болатын шеңбер берілген. Ұштары осы нүктелерде болатын және 1-ден 89-ға дейінгі барлық бүтін ұзындықтары бар доғалар табылатындай шеңбер бойынан 10 нүкте белгілеп шығуға болады ма? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Заметим, что $10$ точек образуют $90$ дуг. И так как дуга длины $45$ повторится два раза, то у нас должно быть $46$ дуг нечетных длины. Обозначим координату какой-то точки за ноль. Тогда если у нас есть $k$ точек с нечетными координатами и $10-k$ с четными, то $2(10-k)k=46 \Rightarrow (10-k)k=23$. А это уравнение не имеет решений при $k \in [0, 10]$, так как $23 \in \mathbb{P}$. Значит отменить нужным образом точки невозможно.