Олимпиада имени Леонарда Эйлера2014-2015 учебный год, I тур регионального этапа

Делитель натурального числа называется собственным, если он меньше этого числа, но больше 1. У натурального числа $n$ нашли все собственные делители (их оказалось не меньше трёх) и записали всевозможные их попарные суммы (повторно одинаковые суммы не записывали). Докажите, что полученный набор не мог оказаться набором всех собственных делителей никакого натурального числа. ( А. Храбров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Предположим, что полученный набор чисел оказался набором всех собственных делителей некоторого числа $m$. Поскольку у числа $n$ хотя бы три собственных делителя, среди них найдутся два делителя одной чётности. Тогда их сумма чётна. Число $m$ делится на эту сумму, значит, оно тоже чётно. Следовательно, число 2, являющееся собственным делителем числа $m$, также было выписано. Но это невозможно, поскольку сумма любых двух собственных делителей числа $n$ больше, чем 2.