Эйлер атындағы олимпиада, 2014-2015 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 1 туры

Егер натурал санның бөлгіші сол саннан кіші бірақ 1-ден үлкен болса, онда ол бөлгішті өздік бөлгіш деп атаймыз. Натурал $n$ санының барлың өздік бөлгіштерін тауып шығып(олардың саны 3-тен кем емес болып шыққан), барлық мүмкін кез келген екеуінің қосындысын жазған (екінші рет қайталанған қосындыны жазбаған). Олай болса пайда болған жиын ешқандай санның өздік бөлгіштер жиынымен беттеспейтінін дәлелде. ( А. Храбров )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Предположим, что полученный набор чисел оказался набором всех собственных делителей некоторого числа $m$. Поскольку у числа $n$ хотя бы три собственных делителя, среди них найдутся два делителя одной чётности. Тогда их сумма чётна. Число $m$ делится на эту сумму, значит, оно тоже чётно. Следовательно, число 2, являющееся собственным делителем числа $m$, также было выписано. Но это невозможно, поскольку сумма любых двух собственных делителей числа $n$ больше, чем 2.