Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год

Задача №1. Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир; каждые две команды встретились ровно один раз. За выигрыш давалось 1 очко, за проигрыш — 0 (ничьих в волейболе не бывает). Докажите, что если команда, занявшая

$n$ -ое место, набрала

$x_n$ очков (

$n=1, \dots, 10$ ), то

$x_1+2x_2+\dots+10x_{10}\geq 165$ . ( Д. Терешин )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Решите в натуральных числах уравнение

$(a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ (Здесь

$(x,y)$ — наибольший общий делитель). ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Существуют ли такие квадратные трехчлены

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ , что для любых целых

$x$ и

$y$ найдется целое

$z$ , удовлетворяющее равенству

$P(x)+Q(y)=R(z)$ ? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №4. Квадрат

$ABCD$ со стороной 1 разбит на

$10^{12}$ меньших квадратов (не обязательно равных). Докажите, что сумма периметров тех из этих квадратов, которые имеют общие точки с диагональю

$AC$ , не больше 1500. ( А.Я.Канель-Белов )
комментарий/решение

Задача №5. Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества

$N_1$ и

$N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

Задача №6. В квадрате

$n \times n$ (

$n > 2$ ) стоят ненулевые числа. Известно, что каждое число ровно в

$k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном "кресте" (т.е.\ в остальных

$2n-2$ клетках той же строки и того же столбца) При каких

$k$ такое возможно? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение

Задача №7. В выпуклом четырехугольнике

$ABCD$ лучи

$DA$ и

$CB$ пересекаются в точке

$Q$ , а лучи

$BA$ и

$CD$ — в точке

$P$ . Оказалось, что

$\angle AQB=\angle APD$ . Биссектриса угла

$\angle AQB$ пересекает стороны

$AB$ и

$CD$ четырехугольника в точках

$X$ и

$Y$ соответственно, а биссектриса

$\angle APD$ пересекает стороны

$AD$ и

$BC$ в точках

$Z$ и

$T$ соответственно. Описанные окружности треугольников

$ZQT$ и

$XPY$ пересекаются в точке

$K$ внутри четырехугольника. Докажите, что

$K$ лежит на диагонали

$AC$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №8. Можно ли раскрасить все положительные действительные числа в 10 цветов так, чтобы любые два числа, десятичная запись которых отличается только в одном разряде, были разного цвета? (Десятичные записи, в которых все цифры, начиная с некоторой — девятки, не рассматриваются). ( А. Голованов )
комментарий/решение