Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год

Решите в натуральных числах уравнение $(a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ (Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель). ( С. Берлов )

Комментарий/решение

$\textbf{ОТВЕТ:}$ Уравнение не имеет решений.

$$ \textbf{Лемма1.} \quad (x,y,z)=1 \Rightarrow (x,yz)=(x,y)(x,z)$$

$\textbf{Доказательство.} $ Ясно, что $(x,yz)$ делится и на $(x,y),$ и на $(x,z).$ А эти два числа взаимно просты между собой ( если они имеет $((x,y),(x,z))=d>1 $ , то $d|x,y,z$, а это противоречит условию $(x,y,z)=1.$ ). $\qquad (x,yz) \vdots (x,y)(x,z)$ , так как d=1.

Теперь докажем обратное утверждение: $\quad (x,y)(x,z) \vdots(x,yz) $ . Пусть $(x,yz)=p_1^{\alpha_1}\cdot...\cdot p_m^{\alpha_m}\cdot ...\cdotp_s^{\alpha_s}, \quad m\leq s, \quad \alpha_j\in \mathbb{N}, j=1,2,...,s.$ Тогда $x$ и $yz$ делится на $p_m^{\alpha_m}$. Для некоторого числа $0\leq k\leq \alpha_s$ $\quad y$ делится на $p_m^{\alpha_m-k},$ a $x$ делится на $p_m^{k}.$ Тогда $(x,y)$ делится на $p_m^{\alpha_m-k}$ и $(x,z)$ делится на $p_m^{k}.$ Таким образом, любое простое число входит в $(х, у)(х, z)$ в степени не меньшей, чем в $(х, yz)$, то есть $(х, у)(х, z)$ делится на $(x,yz)$.

$$ (x,yz) \vdots (x,y)(x,z), \quad (x,y)(x,z) \vdots(x,yz) \Rightarrow (x,yz)=(x,y)(x,z)$$

Лемма1. полностью доказана. $\square$

$$ \textbf{Лемма2.} \quad (a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199 \Rightarrow (a,b,c)=1$$

$\textbf{Доказательство.} $ Предположим, что $(a,b,c)=d>1$. Тогда числа $(a^2,b^2),(a,bc),(b,ac),(c,ab)$ делится на $d$. Тогда $199$ делится $d.$ Так как $199-$ простое, то $d=1999.$

$$ \begin{cases} (a^2,b^2)\geq d \\ (a,bc) \geq d \\ (b,cd) \geq d \\ (c,ab)\geq d \end{cases} \Rightarrow (a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)\geq 4d=4\cdot 199>199 \Rightarrow d=1 \quad \square$$

Тогда, по выше доказанной лемме имеем

$$ (a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)= (a,b)(a,b)+(a,b)(a,c)+$$

$$ + (b,a)(b,c)+(c,a)(c,b)=((a,b)+(a,c))((a,b)+(b,c))=199$$

Каждый сомножитель больше единицы : $( (a,b)+(a,c)>1, \quad (a,b)+(b,c)>1)$, a $199-$ простое.

Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ:Уравнение не имеет решений.

Просто рассмотрим несколько случаев, а именно

1) когда все имеют общий делитель

2) когда $a,b$ имеют общий делитель

3) когда $a,c$ имеют общий делитель

4) когда $b,c$ имеют общий делитель

5) когда у всех трех чисел нет общего делителя

1-cлучай $a=dx,b=dy,c=dz$ (тут $x,y,z$ не имеют общего делителя)

Отсюда получаем $d^2+3d=199$ что невозможно так как $d$ натуральный

2-случай $a=dx,b=dy,c=z$ (тут $x,y,z$ не имеют общего делителя)

Отсюда получаем $(d+1)^2=199$ а это невозможно так как $199$ не квадрат натурального числа

3-cлучай $a=dx,b=y,c=dz$ (тут $x,y,z$ не имеют общего делителя)

Отсюда получаем $2d=197$ что невозможно так как $d$ натуральное число

4-cлучай $a=x,b=dy,c=dz$ (тут $x,y,z$ не имеют общего делителя)

Отсюда получаем $2d=197$ что невозможно так как $d$ натуральное число

5-cлучай Если у них нету общего делителя их наибольший общий делитель будет равен 1,откуда выходит то что слева 4 справа 199, что невозможно

6-cлучай Если у них нету общего делителя но попарно у них есть общий делитель , $a=dxzp$ $b=dxqy$ $c=qyzp$ (тут $x,y,z,q,p$ не имеют общего делителя), откуда выходит $d^2x^2+dxzp+dxqy+qyzp=199$, откуда тоже не выйдет решения и так далее рассматривая все случаи, легко доказать что это уравнение не имеет решений.