қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2001 жыл
Есеп №1. Турнирге он волейбол командасы қатысты. Әрбір екі команда тек бір ойында кездесті. Ұтқан командаға 1 ұпай, ал жеңілген командаға 0 ұпай берілді (волейболда тең ойын болмайды). Егер $n$-інші орын алған команда ${{x}_{n}}$ ұпай жинаса ($n=1,\ldots, 10$), келесі теңсіздікті дәлелдеңіз: ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +10{{x}_{10}}\ge 165.$
(
Д. Терешин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер ($(x,y)$ — ең үлкен ортақ бөлгіш): $({{a}^{2}},{{b}^{2}})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Кез келген $x$ және $y$ үшін, $P(x)+Q(y)=R(z)$ теңдігін қанағаттандыратын бүтін $z$ табылатындай, $P$, $Q$, $R$ квадрат үшмүше табылады ма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Қабырғасы 1-ге тең $ABCD$ квадраты кішкентай ${{10}^{12}}$ квадраттарға бөлінген (бірдей болу шарт емес). $AC$ диагональімен ортақ нүктесі бар квадраттардың периметрлерінің қосындысы 1500-ден артық емес екенін дәлелдеңіз.
(
А.Я.Канель-Белов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Натурал сандар жиыны, қиылыспайтын ${{N}_{1}}$ және ${{N}_{2}}$ жиындарына, әрбір жиында жататын сандар айырмасы 100-ден үлкен жай сан болмайтындай бөлінген. Осындай барлық бөлінділерді табыңыз.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $n\times n$ $(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған $2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан $k$ есе кіші екендігі белгілі. $k$ қандай болғанда осы шарт орындалады?
(
С. Берлов,
А. Храбров,
Д. Ростовский
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. Дөңес $ABCD$ тіктөртбұрышында $DA$ және $CB$ сәулелері $Q$ нүктесінде, ал $BA$ және $CD$ сәулелері $P$ нүктесінде қылысады. $\angle AQB=\angle APD$ екені белгілі болды. $\angle AQB$ бұрышының биссектрисасы $AB$ және $CD$ қабырғаларын сәйкесінше $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды, ал $\angle APD$ бұрышының биссектрисасы $AD$ және $BC$ қабырғаларын сәйкесінше $Z$ және $T$ нүктелерінде қияды. $ZQT$ және $XPY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $K$ нүктесінде қиылысады. $K$ нүктесі $AC$ диагональінде жататынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. Ондық санау жүйесіндегі жазылуында тек бір разрядында айырмашылығы бар, екі сан әр түрлі түсті болатындай, барлық оң, нақты сандарды 10 түске бояуға болады ма? (Барлық цифраларында, кейбір 9-цифрінен басталатын, ондық санау жүйесінде жазылған сандар қарастырылмайды).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение