Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2001 жыл

Есеп №1. Турнирге он волейбол командасы қатысты. Әрбір екі команда тек бір ойында кездесті. Ұтқан командаға 1 ұпай, ал жеңілген командаға 0 ұпай берілді (волейболда тең ойын болмайды). Егер

$n$ -інші орын алған команда

${{x}_{n}}$ ұпай жинаса (

$n=1,\ldots, 10$ ), келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+\ldots +10{{x}_{10}}\ge 165.$ ( Д. Терешин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Теңдеуді натурал сандар жиынында шешіңіздер (

$(x,y)$ — ең үлкен ортақ бөлгіш):

$({{a}^{2}},{{b}^{2}})+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Кез келген

$x$ және

$y$ үшін,

$P(x)+Q(y)=R(z)$ теңдігін қанағаттандыратын бүтін

$z$ табылатындай,

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ квадрат үшмүше табылады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №4. Қабырғасы 1-ге тең

$ABCD$ квадраты кішкентай

${{10}^{12}}$ квадраттарға бөлінген (бірдей болу шарт емес).

$AC$ диагональімен ортақ нүктесі бар квадраттардың периметрлерінің қосындысы 1500-ден артық емес екенін дәлелдеңіз. ( А.Я.Канель-Белов )
комментарий/решение

Есеп №5. Натурал сандар жиыны, қиылыспайтын

${{N}_{1}}$ және

${{N}_{2}}$ жиындарына, әрбір жиында жататын сандар айырмасы 100-ден үлкен жай сан болмайтындай бөлінген. Осындай барлық бөлінділерді табыңыз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$n\times n$

$(n > 2)$ квадратында нөлге тең емес сандар орналасқан. Әрбір сан, сол санмен бір «крестте» (яғни осы сан орналасқан баған мен жолдағы қалған

$2n-2$ торларда) орналасқан барлық сандар қосындысынан

$k$ есе кіші екендігі белгілі.

$k$ қандай болғанда осы шарт орындалады? ( С. Берлов, А. Храбров, Д. Ростовский )
комментарий/решение

Есеп №7. Дөңес

$ABCD$ тіктөртбұрышында

$DA$ және

$CB$ сәулелері

$Q$ нүктесінде, ал

$BA$ және

$CD$ сәулелері

$P$ нүктесінде қылысады.

$\angle AQB=\angle APD$ екені белгілі болды.

$\angle AQB$ бұрышының биссектрисасы

$AB$ және

$CD$ қабырғаларын сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелерінде қияды, ал

$\angle APD$ бұрышының биссектрисасы

$AD$ және

$BC$ қабырғаларын сәйкесінше

$Z$ және

$T$ нүктелерінде қияды.

$ZQT$ және

$XPY$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$K$ нүктесінде қиылысады.

$K$ нүктесі

$AC$ диагональінде жататынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Ондық санау жүйесіндегі жазылуында тек бір разрядында айырмашылығы бар, екі сан әр түрлі түсті болатындай, барлық оң, нақты сандарды 10 түске бояуға болады ма? (Барлық цифраларында, кейбір 9-цифрінен басталатын, ондық санау жүйесінде жазылған сандар қарастырылмайды). ( А. Голованов )
комментарий/решение