Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год

Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир; каждые две команды встретились ровно один раз. За выигрыш давалось 1 очко, за проигрыш — 0 (ничьих в волейболе не бывает). Докажите, что если команда, занявшая $n$-ое место, набрала $x_n$ очков ($n=1, \dots, 10$), то $x_1+2x_2+\dots+10x_{10}\geq 165$. ( Д. Терешин )

Комментарий/решение

$$x_j:x_k\rightarrow^{min} 1:0 \quad \forall k\in\left\{ 1,2,...,10 \right\} \setminus \left\{ 1,...,j\right\}$$ $$\Rightarrow x_n=f(n)\geq 10-n$$

$$ \Rightarrow n\cdot x_n\geq 10n-n^2$$

$$\sum_{n=1}^{10}n\cdot x_n\geq \sum_{n=1}^{10} (10n-n^2)=165$$