қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2001 год
Задача №1. Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир; каждые две
команды встретились ровно один раз. За
выигрыш давалось 1 очко, за проигрыш — 0 (ничьих в волейболе не бывает).
Докажите, что если команда, занявшая $n$-ое место, набрала
$x_n$ очков ($n=1, \dots, 10$), то $x_1+2x_2+\dots+10x_{10}\geq 165$.
(
Д. Терешин
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Решите в натуральных числах уравнение $(a^2,b^2)+(a,bc)+(b,ac)+(c,ab)=199.$ (Здесь $(x,y)$ — наибольший общий делитель).
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Существуют ли такие квадратные трехчлены $P$, $Q$, $R$, что для любых
целых $x$ и $y$ найдется целое $z$, удовлетворяющее равенству $P(x)+Q(y)=R(z)$?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Квадрат $ABCD$ со стороной 1 разбит на $10^{12}$ меньших квадратов
(не обязательно равных). Докажите, что сумма периметров тех из этих
квадратов, которые имеют общие точки с диагональю $AC$,
не больше 1500.
(
А.Я.Канель-Белов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества
$N_1$
и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является
простым числом, большим 100.
Найдите все такие разбиения.
(
Н. Седракян
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В квадрате $n \times n$ ($n > 2$) стоят ненулевые числа. Известно, что
каждое
число ровно в $k$ раз меньше, чем сумма всех чисел, стоящих с ним в одном
"кресте" (т.е.\ в остальных $2n-2$ клетках той же строки и того же
столбца)
При каких $k$ такое возможно?
(
С. Берлов,
А. Храбров,
Д. Ростовский
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ лучи $DA$ и $CB$ пересекаются в
точке $Q$, а лучи $BA$ и $CD$ — в точке $P$. Оказалось, что
$\angle AQB=\angle APD$.
Биссектриса угла $\angle AQB$ пересекает стороны
$AB$ и $CD$ четырехугольника в точках $X$ и $Y$ соответственно, а
биссектриса $\angle APD$ пересекает стороны $AD$ и $BC$ в точках $Z$ и $T$
соответственно. Описанные
окружности треугольников $ZQT$ и $XPY$ пересекаются
в точке $K$ внутри
четырехугольника. Докажите, что $K$ лежит на диагонали $AC$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Можно ли раскрасить все положительные действительные числа в 10 цветов
так, чтобы любые два числа, десятичная запись которых отличается только
в одном разряде, были разного цвета? (Десятичные записи, в которых все
цифры, начиная с некоторой — девятки, не рассматриваются).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение