Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год

Задача №1. Каждая из точек

$G$ и

$H$ , лежащих по разные стороны от плоскости шестиугольника

$ABCDEF$ , соединена со всеми вершинами шестиугольника. Можно ли расставить на получившихся 18 отрезках числа 1, 2, 3,

$\dots$ , 18, а в точках

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ — некоторые вещественные числа так, чтобы на каждом отрезке было написано число, равное разности чисел, написанных в его вершинах? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. Произведение положительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ и

$d$ равно 1. Докажите, что

${1+ab\over 1+a}+{1+bc\over 1+b}+{1+cd\over 1+c}+{1+da\over 1+d}\geq 4.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(4)

Задача №3. Окружность, концентрическая со вписанной окружностью треугольника

$ABC$ , пересекает стороны треугольника в шести точках, образующих выпуклый шестиугольник

$A_1A_2B_1B_2C_1C_2$ (точки

$A_1$ и

$A_2$ лежат на стороне

$BC$ ,

$B_1$ и

$B_2$ — на стороне

$AC$ ,

$C_1$ и

$C_2$ — на стороне

$AB$ ). Докажите, что если прямая

$A_1B_1$ параллельна биссектрисе угла

$B$ , то прямая

$A_2C_2$ параллельна биссектрисе угла

$C$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Прямоугольная доска с 2001 строчками и 2002 столбцами разбита на прямоугольники

$1\times 2$ . Известно, что в любом другом разбиении этой доски на прямоугольники

$1\times 2$ найдется прямоугольник, содержавшийся и в исходном разбиении. Докажите, что в исходном разбиении имеются два соседних столбца таблицы, заполненные 2001 горизонтальным прямоугольником. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение

Задача №5. Дано натуральное число

$c$ . Последовательность

$\{p_k\}$ строится по следующему правилу:

$p_1$ — произвольное простое число, а при

$k\geq 1$ число

$p_{k+1}$ — любой простой делитель числа

$p_k+c$ , не встречающийся среди чисел

$p_1$ ,

$p_2$ ,

$\dots$ ,

$p_k$ . Докажите, что последовательность

$\{p_k\}$ не может быть бесконечной. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №6. Найдите все функции

$f(x)$ , заданные и непрерывные на всей вещественной прямой, для которых при любом

$x$ выполняются неравенства

$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$ ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Задача №7.

$D$ и

$E$ — такие точки описанной окружности остроугольного треугольника

$ABC$ , что

$AD=AE$ . Пусть

$H$ — точка пересечения высот треугольника

$ABC$ . Известно, что

$AH^2=BH^2+CH^2$ . Докажите, что точка

$H$ лежит на отрезке

$DE$ . ( Д. Ширяев )
комментарий/решение

Задача №8. Дано вещественное число

$\alpha$ . Последовательность

$n_1 < n_2 < n_3 < \dots$ состоит из всех натуральных чисел

$n$ , для которых

$\{n\alpha\} < {1\over 10}$ . Докажите, что среди чисел

$n_2-n_1$ ,

$n_3-n_2$ ,

$n_4-n_3$ ,

$\dots$ не более трех различных.
комментарий/решение