Д. Ширяев

Задача №1. $D$ и $E$ — такие точки описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, что $AD=AE$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Известно, что $AH^2=BH^2+CH^2$. Докажите, что точка $H$ лежит на отрезке $DE$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. В треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, точка $O$ — центр описанной окружности. Оказалось, что $R-r=OM$. Биссектриса внешнего угла при вершине $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, а биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекает прямую $AB$ в точке $E$. Найдите все возможные значения угла $CED$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №3. Продолжение биссектрисы $CL$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность треугольника в точке $K$. Точка $I$ — центр вписанной окружности. Оказалось, что $IL=LK$. Докажите, что $CI=IK$. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. На окружности отмечены 48 точек, делящих ее на равные дуги. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается стереть либо три отмеченные точки, лежащие в вершинах равностороннего треугольника, либо четыре отмеченные точки, лежащие в вершинах квадрата. Кто при правильной игре выиграет независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход, или тот, кто ходит вторым? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг. ( С. Берлов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. Даны два числа (не обязательно целых), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, поведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, проведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №9. Внутри стороны $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ нашлась такая точка $E$, что прямая $AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой $AE$? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(3) олимпиада