Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур заключительного этапа

Даны два числа (не обязательно целых), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. в 4 раза.
Решение. Обозначим данные числа через $a$ и $b$. Пусть $a \ne 0$ и $b \ne 0$. По условию $(a+1)(b+1) = ab+a+b+1 = 2ab.$ Приведя в последнем равенстве подобные члены, получаем $ab-a-b-1 = 0,$ откуда $(a-1)(b-1) = ab-a-b+1 = 2$ и $(a^2-1)(b^2-1) = (a-1)(b-1)(a+1)(b+1) = 2\cdot 2ab = 4ab.$ Пусть теперь одно число равно 0, например, $a=0$. Тогда из условия $(a+1)(b+1) =2ab$ следует $b=-1$. Поэтому $ab=0$ и $(a^2-1)(b^2-1)=0$. То есть в этом случае ответ — в любое число раз.