Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур заключительного этапа

Задача №1. Даны два числа (не обязательно целых), не равные 0. Если каждое из них увеличить на единицу, их произведение увеличится вдвое. А во сколько раз увеличится их произведение, если каждое из исходных чисел возвести в квадрат и затем уменьшить на единицу? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

Задача №2. Устройство КК42 работает так: если положить в него четыре шарика, то в первый лоток вывалится второй по весу шарик (т.е. шарик веса

$b,$ если

$a > b > c > d)$ , а во второй лоток вывалятся остальные. С другим числом шариков устройство не работает. Имеются 100 одинаковых на вид шариков попарно различных весов. Их пронумеровали числами

$1, 2, \ldots, 100.$ Как, использовав прибор не более 100 раз, найти самый тяжелый шарик? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. Дан выпуклый четырёхугольник

$ABSC.$ На диагонали

$BC$ выбрана точка

$P$ так, что

$AP = CP > BP.$ Точка

$Q$ симметрична точке

$P$ относительно середины диагонали

$BC,$ а точка

$R$ симметрична точке

$Q$ относительно прямой

$AC.$ Оказалось, что

$\angle SAB = \angle QAC$ и

$\angle SBC = \angle BAC.$ Докажите, что

$SA = SR.$ ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

результаты