Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур заключительного этапа

Дано 1000-значное число без нулей в записи. Докажите, что из этого числа можно вычеркнуть несколько (возможно, ни одной) последних цифр так, чтобы получившееся число не было натуральной степенью числа, меньшего 500. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Будем вычеркивать в конце ноль, одну, две, три, $\ldots$, 499 цифр. Если всё время получаются степени чисел, меньших 500, то основания каких-то двух из них совпали. Пусть это будут $a^x$ и $a^y$ $(x < y).$ Умножим число $a^x$ на степень десятки так, чтобы в его записи стало столько же знаков, сколько в записи $a^y,$ и вычтем результат из $a^y.$ Разность будет натуральным числом, делящимся на $a^x.$ Но в нём будет не более 499 цифр, а в $a^x$ — не менее 501 цифры. Противоречие.