Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры


Цифрларының ішінде нөлі жоқ 1000 таңбалы сан берілген. Қалған сан, негiзi 500-ден кiшi санның натурал көрсеткiштi дарежесi ретiнде жазуға болмайтындай, осы санның соңғы бірнеше (мүмкін ешқандай) цифрларын өшіріп тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Будем вычеркивать в конце ноль, одну, две, три, , 499 цифр. Если всё время получаются степени чисел, меньших 500, то основания каких-то двух из них совпали. Пусть это будут и Умножим число на степень десятки так, чтобы в его записи стало столько же знаков, сколько в записи и вычтем результат из Разность будет натуральным числом, делящимся на Но в нём будет не более 499 цифр, а в — не менее 501 цифры. Противоречие.