Леонард Эйлер атындағы олимпиада, 2018-2019 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Нөлге тең емес екі сан берілген (олардың бүтін болуы міндетті емес). Егер олардың әрқайсысын 1-ге ұлғайтса, онда олардың көбейтіндісі екі есе өседі. Ал егер әр санды квадраттап, сосын 1-ге кемітсе, онда олардың көбейтіндісі қалай өзгереді? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. KK42 құрылғысы келесідей жұмыс істейді: егер сіз оған төрт шар салсаңыз, онда бірінші науаға салмағы бойынша екінші шар түседі (яғни, егер $a > b > c > d$ болса $b$ шары түседі), ал екінші науада қалғандары түседі. Егер құрылғыға 4-тен өзгеше шар салынса, құрылғы жұмыс істемейді. Сырт пішіндері бірдей, салмақтары қос-қостан әртүрлі 100 шар бар. Оларды $1, 2, \ldots, 100$ сандарымен нөмірленген. Құрылғыны 100-ден артық емес қолдану арқылы ең ауыр шарды қалай табуға болады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Цифрларының ішінде нөлі жоқ 1000 таңбалы сан берілген. Қалған сан, негiзi 500-ден кiшi санның натурал көрсеткiштi дарежесi ретiнде жазуға болмайтындай, осы санның соңғы бірнеше (мүмкін ешқандай) цифрларын өшіріп тастауға болатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Дөңес $ABSC$ төртбұрышы берілген. $BC$ диагоналында $P$ нүктесі $AP = CP > BP$ болатындай белгіленген. $Q$ нүктесі $P$ нүктесіне $BC$ кесіндісінің ортасына қарағандағы симметриялы нүкте. Ал $R$ нүктесі $Q$ нүктесіне $AC$ түзуіне қарағандағы симметриялы нүкте. Сонда $\angle SAB = \angle QAC$ және $\angle SBC = \angle BAC$ болып шыққан. $SA = SR$ екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)

---