Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2015 жыл

$ABC$ үшбұрышындағы $CL$ биссектрисасының жалғасы, сырттай сызылған шеңберді $K$ нүктесінде қияды. $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі. $IL=LK$ екені анықталды. $CI=IK$ екенін дәлелдеңіз. ( Д. Ширяев )

Комментарий/решение

По лемме о трезубце $BK=IK=AK$. $\angle KBA= \angle KCA= \angle KCB$. $$BK^2=KL*KC$$ $$BK^2=KI/2*KC$$ $$2*BK=KC$$ $$BK+BK=KI+IC$$ $$IK=BK=IC$$

Пусть $M$ середина отрезка $AK\Rightarrow \angle KIM=\angle LAM=\angle BAK=\angle KCA\Rightarrow I$ середина $CK\blacksquare$