қазақша
русскийОлимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2015 год
Задача №1. Дано 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно расставить
в клетках таблицы $10\times 10$ так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих
в соседних по стороне клетках, разность не была равна 1.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр,
увеличенная на 1, является делителем этого числа. Какое наибольшее количество
подряд идущих натуральных чисел может оказаться забавными?
(
О. Подлипский
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Биссектрисы углов
$ABD$ и $ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение
угла $BAC$.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что существует натуральное $n$ такое, что в десятичной записи
каждого из чисел $\sqrt{n}$, $\root 3\of n$, $\root 4\of n$, $\dots$,
$\root {10}\of n$ сразу после запятой стоят цифры 2015$\dots$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель,
к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что
после выполнения нескольких операций получится число, кратное $3^{2000}$.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №6. Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел
$(a_n)$ такая, что среди разностей $a_{n+1}-a_n$ встречаются все
натуральные числа ровно по одному разу, а среди разностей {$a_{n+2}-a_n$} встречаются только
натуральные числа, большие 2015, причем тоже ровно по одному разу?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №7. Продолжение биссектрисы $CL$ треугольника $ABC$ пересекает описанную
окружность треугольника в точке $K$. Точка $I$ — центр вписанной окружности.
Оказалось, что $IL=LK$. Докажите, что $CI=IK$.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Четыре мудреца стоят по кругу возле непрозрачного баобаба.
На каждом из мудрецов красная, синяя или зеленая шляпа. Мудрец видит
только двух соседних по кругу мудрецов. Мудрецы одновременно должны
высказать предположение о цвете своей шляпы.
Если хотя бы один из мудрецов угадал, они выиграли.
Мудрецы имели возможность обсудить ситуацию до начала игры.
Как им действовать, чтобы выиграть?
(
К. Кохась
)
комментарий/решение
комментарий/решение