Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2015 год

Задача №1. Дано 100 различных вещественных чисел. Докажите, что их можно расставить в клетках таблицы

$10\times 10$ так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих в соседних по стороне клетках, разность не была равна 1. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №2. Назовём натуральное число забавным, если сумма его цифр, увеличенная на 1, является делителем этого числа. Какое наибольшее количество подряд идущих натуральных чисел может оказаться забавными? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(3)

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ проведена медиана

$BD$ . Биссектрисы углов

$ABD$ и

$ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение угла

$BAC$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что существует натуральное

$n$ такое, что в десятичной записи каждого из чисел

$\sqrt{n}$ ,

$\root 3\of n$ ,

$\root 4\of n$ ,

$\dots$ ,

$\root {10}\of n$ сразу после запятой стоят цифры 2015

$\dots$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №5. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное

$3^{2000}$ . ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Задача №6. Существует ли возрастающая последовательность натуральных чисел

$(a_n)$ такая, что среди разностей

$a_{n+1}-a_n$ встречаются все натуральные числа ровно по одному разу, а среди разностей {

$a_{n+2}-a_n$ } встречаются только натуральные числа, большие 2015, причем тоже ровно по одному разу? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Задача №7. Продолжение биссектрисы

$CL$ треугольника

$ABC$ пересекает описанную окружность треугольника в точке

$K$ . Точка

$I$ — центр вписанной окружности. Оказалось, что

$IL=LK$ . Докажите, что

$CI=IK$ . ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

Задача №8. Четыре мудреца стоят по кругу возле непрозрачного баобаба. На каждом из мудрецов красная, синяя или зеленая шляпа. Мудрец видит только двух соседних по кругу мудрецов. Мудрецы одновременно должны высказать предположение о цвете своей шляпы. Если хотя бы один из мудрецов угадал, они выиграли. Мудрецы имели возможность обсудить ситуацию до начала игры. Как им действовать, чтобы выиграть? ( К. Кохась )
комментарий/решение