Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2015 жыл

Есеп №1. Әртүрлі 100 нақты сандар берілсін. Көршілес орналасқан торларда, сандар айырмасы 1-ге тең болмайтындай, осы сандарды

$10\times 10$ кестесіне орналастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Натруал санды қызықты деп атайық, егер осы санның цифраларының қосындысына 1-ді қосқанда пайда болатын сан, осы санды қалдықсыз бөлетін болса. Қатар орналасқан натурал сандардың ең көп дегенде нешеуі қызықты болуы мүмкін? ( О. Подлипский )
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышында

$BD$ медианасы салынды.

$ABD$ және

$ACB$ бұрыштарының биссектрисалары өзара перпендикуляр.

$BAC$ бұрышының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №4.

$\sqrt{n}$ ,

$\sqrt[3]{n}$ ,

$\sqrt[4]{n}$ ,

$\ldots$ ,

$\sqrt[10]{n}$ сандарының ондық санау жүйесіндегі жазылуында, үтірден кейін 2015 саны тұратындай,

$n$ натурал саны бар екенін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №5. Натурал санға, оның ең үлкен бөлгішін қосады, пайда болған санға осы санның ең ұлкен бөлгішін қосады, және т.т. Осындай бірнеше амал орындағаннан кейін, пайда болған сан

${{3}^{2000}}$ -не бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

${{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}$ айырмаларының арасында, натурал сандар тек бір рет кездесетіндей және

${{a}_{n+2}}-{{a}_{n}}$ айырмаларының арасында кездесетін натурал сандар 2015-тен үлкен болатындай,

$\left( {{a}_{n}} \right)$ натурал сандардың өспелі тізбегі бар ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышындағы

$CL$ биссектрисасының жалғасы, сырттай сызылған шеңберді

$K$ нүктесінде қияды.

$I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі.

$IL=LK$ екені анықталды.

$CI=IK$ екенін дәлелдеңіз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

Есеп №8. Мөлдір емес баобаб қасында, 4 данышпан шеңбер бойымен тұр. Әр данышпанның басында қызыл немесе көк немесе жасыл түсті қалпақ бар. Данышпан, тек екі көршісін көре алады. Данышпандар, барлығы бірге өздерінің қалпақтарының түстері жайлы болжам айтулары тиіс. Егер данышпандардың біреуі дәл тапса, данышпандар жеңіске жітеді. Данышпандарда ойын басталғанша мәселені талқылауға мүмкіндік болды. Жеңу үшін олар не істеу керек? ( К. Кохась )
комментарий/решение