Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2015 год

Продолжение биссектрисы $CL$ треугольника $ABC$ пересекает описанную окружность треугольника в точке $K$. Точка $I$ — центр вписанной окружности. Оказалось, что $IL=LK$. Докажите, что $CI=IK$. ( Д. Ширяев )

Комментарий/решение

По лемме о трезубце $BK=IK=AK$. $\angle KBA= \angle KCA= \angle KCB$. $$BK^2=KL*KC$$ $$BK^2=KI/2*KC$$ $$2*BK=KC$$ $$BK+BK=KI+IC$$ $$IK=BK=IC$$

Пусть $M$ середина отрезка $AK\Rightarrow \angle KIM=\angle LAM=\angle BAK=\angle KCA\Rightarrow I$ середина $CK\blacksquare$