Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг. ( С. Берлов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Допустим, существуют гири весов $a_1 < a_2 < \ldots < a_{40},$ опровергающие утверждение задачи. Тогда при всех $i$ от 1 до 39 $a_{i+1} = a_i+1+b_i,$ где $b_i > 0.$ Кроме того, по условию $a_{40}-a_1 = 39+b_1+\ldots+b_{39} \le 45,$ откуда $B = b_1+\ldots+b_{39} \le 6.$
   Возьмем гири $a_1 - a_5$ (назовем их легкими) и гири ${a_{36} - a_{40}}$ (назовем их тяжелыми). По условию их можно разделить на две группы по 5 гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. В одной из этих групп будет хотя бы три тяжелых гири. Значит, ее вес будет не меньше, чем $a_{36}+a_{37}+a_{38}+a_1+a_2,$ а вес другой группы — не больше, чем $a_{40}+a_{39}+a_3+a_4+a_5.$ Оценим разность весов этих групп: $$((a_{38}-a_{40})+(a_1-a_5))+((a_{37}-a_{39})+(a_2-a_4))+(a_{36}-a_3) > (-2-4-B)+(-2-2-B)+33 = 23-2B = 11.$$