Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

40 гір бар. Кез-келген екі гірдің салмақтарының айырмашылығы 45 кг-нан аспайды. Кез келген 10 гірді келесі шарт орындалатындай бес гірден тұратын екі топқа бөлуге болады: әр топтағы гірлердің салмақтарының қосындыларының айырмашылығы 11 кг-нан аспайды. Салмақтарының айырмашылығы 1 кг-нан аспайтын екі гір табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Допустим, существуют гири весов $a_1 < a_2 < \ldots < a_{40},$ опровергающие утверждение задачи. Тогда при всех $i$ от 1 до 39 $a_{i+1} = a_i+1+b_i,$ где $b_i > 0.$ Кроме того, по условию $a_{40}-a_1 = 39+b_1+\ldots+b_{39} \le 45,$ откуда $B = b_1+\ldots+b_{39} \le 6.$
   Возьмем гири $a_1 - a_5$ (назовем их легкими) и гири ${a_{36} - a_{40}}$ (назовем их тяжелыми). По условию их можно разделить на две группы по 5 гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. В одной из этих групп будет хотя бы три тяжелых гири. Значит, ее вес будет не меньше, чем $a_{36}+a_{37}+a_{38}+a_1+a_2,$ а вес другой группы — не больше, чем $a_{40}+a_{39}+a_3+a_4+a_5.$ Оценим разность весов этих групп: $$((a_{38}-a_{40})+(a_1-a_5))+((a_{37}-a_{39})+(a_2-a_4))+(a_{36}-a_3) > (-2-4-B)+(-2-2-B)+33 = 23-2B = 11.$$