Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

Задача №1. Вася, Петя и Коля учатся в одном классе. Вася в ответ на любой вопрос врёт, Петя попеременно врёт и говорит правду, а Коля врёт в ответ на каждый третий вопрос, а в остальных случаях говорит правду. Однажды каждого из них шесть раз подряд спросили, сколько человек учится в их классе. В ответ пять раз прозвучало: «Двадцать пять», шесть раз: «Двадцать шесть» и семь раз: «Двадцать семь». Можно ли по их ответам узнать, сколько человек в их классе на самом деле? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №2. В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше боковой стороны $CD.$ Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$ Докажите, что $AK > KB.$ ( C. Берлов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Петя задумал 8 различных чисел, а потом стал выбирать из них по два и делить большее на меньшее. Он нашел 22 из 28 возможных частных, и они оказались натуральными степенями двойки. Докажите, что 6 оставшихся частных — тоже натуральные степени двойки. (Натуральная степень двойки — это 2 в степени, показатель которой равен натуральному числу.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Задача №4. На окружности отмечены 48 точек, делящих ее на равные дуги. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается стереть либо три отмеченные точки, лежащие в вершинах равностороннего треугольника, либо четыре отмеченные точки, лежащие в вершинах квадрата. Кто при правильной игре выиграет независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход, или тот, кто ходит вторым? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

Задача №5. Есть 40 гирь. Веса любых двух отличаются не более чем на 45 кг. Любые десять из этих гирь можно разбить на две группы по пять гирь, суммы весов которых отличаются не более чем на 11 кг. Докажите, что найдутся две гири, веса которых отличаются не более чем на 1 кг. ( С. Берлов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)