Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа
В трапеции ABCD основание AD больше боковой стороны CD. Биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке K. Докажите, что AK>KB.
(
C. Берлов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Решение. Пусть M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Отметим на основании AD такую точку E, что DE=CD. В равнобедренном треугольнике CDE биссектриса угла D является медианой. Следовательно, точка F ее пересечения с отрезком CE лежит на средней линии MN трапеции ABCD. Поэтому точка K лежит на стороне BM трапеции MBCN, откуда AK>AM=BM>BK.
Пусть E - пересечение прямых DK и BC.Тогда CE=CD,CB<AD так как биссектриса угла D пересекает отрезок AB а не отрезок BC. CB+BE=CD<AD, BE<AD,то по подобию BKE и AKD
BE/AD=BK/AK,BE<AD,отсюда следует что AK>KB
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.