Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ больше боковой стороны $CD.$ Биссектриса угла $D$ пересекает сторону $AB$ в точке $K.$ Докажите, что $AK > KB.$ ( C. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отметим на основании $AD$ такую точку $E,$ что $DE = CD.$ В равнобедренном треугольнике $CDE$ биссектриса угла $D$ является медианой. Следовательно, точка $F$ ее пересечения с отрезком $CE$ лежит на средней линии $MN$ трапеции $ABCD.$ Поэтому точка $K$ лежит на стороне $BM$ трапеции $MBCN,$ откуда $AK > AM = BM > BK.$

Пусть E - пересечение прямых DK и BC.Тогда CE=CD,CB<AD так как биссектриса угла D пересекает отрезок AB а не отрезок BC. CB+BE=CD<AD, BE<AD,то по подобию BKE и AKD

BE/AD=BK/AK,BE<AD,отсюда следует что AK>KB