Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

$ABCD$ трапециясында $AD$ табаны бүйір $CD$ қабырғасынан үлкен. $D$ бұрышының биссектрисасы $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $AK > KB$ екенін дәлелдеңіз. ( C. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Решение. Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Отметим на основании $AD$ такую точку $E,$ что $DE = CD.$ В равнобедренном треугольнике $CDE$ биссектриса угла $D$ является медианой. Следовательно, точка $F$ ее пересечения с отрезком $CE$ лежит на средней линии $MN$ трапеции $ABCD.$ Поэтому точка $K$ лежит на стороне $BM$ трапеции $MBCN,$ откуда $AK > AM = BM > BK.$

Пусть E - пересечение прямых DK и BC.Тогда CE=CD,CB<AD так как биссектриса угла D пересекает отрезок AB а не отрезок BC. CB+BE=CD<AD, BE<AD,то по подобию BKE и AKD

BE/AD=BK/AK,BE<AD,отсюда следует что AK>KB