Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. sol Напишем задуманные Петей числа a1,…,a8 на плоскости и соединим каждые два числа линией: красной, если Петя нашел частное от деления чисел, которые она соединяет, и синей, если не нашел. Всего получится 22 красных и 6 синих линий.
Пусть два числа, скажем, a1 и a2 (a1>a2), соединены синей линией. Тогда в шести не имеющих общих линий путях a1−a3−a2, a1−a4−a2, …, a1−a8−a2 не больше пяти синих линий. Значит, хотя бы один из них — пусть a1−a3−a2 — состоит целиком из красных линий, то есть a1/a3=2n и a3/a2=2m, где n и m — целые числа. Но тогда a1/a2=(a1/a3)(a3/a2)=2n⋅2m=2m+n. Это целая степень двойки, а так как a1>a2, то натуральная степень двойки.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.