Processing math: 100%

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа


Петя 8 әртүрлі сандарды ойластырды, сосын екі-екіден сандарды алып, үлкенін кішісіне бөле бастады. Ол 28 мүмкін бөліндінің 22-ін тапты, сонда сол 22 бөлінділердің әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі болып шыққан. Қалған 6 бөлінділердің де әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі екенін дәлелдеңіз. (2-нің натурал дәрежесі дегеніміз, 2n түріндегі сан, бұл жерде n — натурал сан.) ( И. Рубанов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     sol Напишем задуманные Петей числа a1,,a8 на плоскости и соединим каждые два числа линией: красной, если Петя нашел частное от деления чисел, которые она соединяет, и синей, если не нашел. Всего получится 22 красных и 6 синих линий.
   Пусть два числа, скажем, a1 и a2 (a1>a2), соединены синей линией. Тогда в шести не имеющих общих линий путях a1a3a2, a1a4a2, , a1a8a2 не больше пяти синих линий. Значит, хотя бы один из них — пусть a1a3a2 — состоит целиком из красных линий, то есть a1/a3=2n и a3/a2=2m, где n и m — целые числа. Но тогда a1/a2=(a1/a3)(a3/a2)=2n2m=2m+n. Это целая степень двойки, а так как a1>a2, то натуральная степень двойки.