Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

Есеп №1. Вася, Петя және Коля бір сыныпта оқиды. Вася кез-келген сұраққа өтірік жауап береді, Петя кезекпен өтірік сосын шындықты айтады, ал Коля әр үшінші сұраққа өтірік жауап береді, ал басқа жағдайларда шындықты айтады. Бір күні олардың әрқайсысына алты рет қатарынан «Сендердің сыныптарыңда қанша адам оқиды?» деген сұрақ қойылды. Сонда бес рет: «Жиырма бес», алты рет: «Жиырма алты» және жеті рет: «Жиырма жеті» деп жауап қайтарылды. Осы берілген жауаптардың көмегі арқылы сыныпта шын мәнінде қанша оқушы оқитынын анықтау мүмкін бе? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. $ABCD$ трапециясында $AD$ табаны бүйір $CD$ қабырғасынан үлкен. $D$ бұрышының биссектрисасы $AB$ қабырғасын $K$ нүктесінде қияды. $AK > KB$ екенін дәлелдеңіз. ( C. Берлов )
комментарий/решение(2)

Есеп №3. Петя 8 әртүрлі сандарды ойластырды, сосын екі-екіден сандарды алып, үлкенін кішісіне бөле бастады. Ол 28 мүмкін бөліндінің 22-ін тапты, сонда сол 22 бөлінділердің әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі болып шыққан. Қалған 6 бөлінділердің де әрқайсысы 2-нің натурал дәрежесі екенін дәлелдеңіз. (2-нің натурал дәрежесі дегеніміз, $2^n$ түріндегі сан, бұл жерде $n$ — натурал сан.) ( И. Рубанов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Шеңберде, шеңберді тең доғаларға бөлетін 48 нүкте белгіленген. Екі ойыншы келесі ойын ойнайды, және олар кезектесіп жүреді. Бір жүрісте белгіленген нүктелердің ішінен дұрыс үшбұрыштың төбелері болатын үш нүктені, немесе квадраттың төбелері болатын төрт нүктені өшіруге болады. Қарсыластың әрекеттеріне қарамастан, дұрыс ойында кім жеңіске жетеді? Ойынды бірінші бастайтын ойыншы ма, әлде екінші жүрісті жүретін ойыншы ма? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)

Есеп №5. 40 гір бар. Кез-келген екі гірдің салмақтарының айырмашылығы 45 кг-нан аспайды. Кез келген 10 гірді келесі шарт орындалатындай бес гірден тұратын екі топқа бөлуге болады: әр топтағы гірлердің салмақтарының қосындыларының айырмашылығы 11 кг-нан аспайды. Салмақтарының айырмашылығы 1 кг-нан аспайтын екі гір табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1)