Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

На окружности отмечены 48 точек, делящих ее на равные дуги. Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается стереть либо три отмеченные точки, лежащие в вершинах равностороннего треугольника, либо четыре отмеченные точки, лежащие в вершинах квадрата. Кто при правильной игре выиграет независимо от действий соперника: тот, кто делает первый ход, или тот, кто ходит вторым? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Тот, кто ходит вторым.
Решение. Покрасим точки в четыре цвета, двигаясь по часовой стрелке: ксзжкс$\ldots$зж. Первым четырем покрашенным точкам присвоим номер 1, вторым четырем — номер 2 и т.д., до номера 12 включительно. Заметим, что каждым ходом стираются три одноцветные точки. Разобьем цвета на пары: кс, зж. Чтобы победить, второму достаточно каждым ходом стирать точки цвета, парного тому, который накануне стирал соперник, с теми же номерами, что на предыдущем ходе соперника. Эти точки не могли быть стерты раньше, потому что тогда были бы стерты раньше и точки, которые накануне стер соперник. Значит, у второго всегда будет ход, а поскольку в игре может быть сделано не более 16 ходов, хода в конце концов нет окажется у первого.