Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, III тур дистанционного этапа

Шеңберде, шеңберді тең доғаларға бөлетін 48 нүкте белгіленген. Екі ойыншы келесі ойын ойнайды, және олар кезектесіп жүреді. Бір жүрісте белгіленген нүктелердің ішінен дұрыс үшбұрыштың төбелері болатын үш нүктені, немесе квадраттың төбелері болатын төрт нүктені өшіруге болады. Қарсыластың әрекеттеріне қарамастан, дұрыс ойында кім жеңіске жетеді? Ойынды бірінші бастайтын ойыншы ма, әлде екінші жүрісті жүретін ойыншы ма? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. Тот, кто ходит вторым.
Решение. Покрасим точки в четыре цвета, двигаясь по часовой стрелке: ксзжкс$\ldots$зж. Первым четырем покрашенным точкам присвоим номер 1, вторым четырем — номер 2 и т.д., до номера 12 включительно. Заметим, что каждым ходом стираются три одноцветные точки. Разобьем цвета на пары: кс, зж. Чтобы победить, второму достаточно каждым ходом стирать точки цвета, парного тому, который накануне стирал соперник, с теми же номерами, что на предыдущем ходе соперника. Эти точки не могли быть стерты раньше, потому что тогда были бы стерты раньше и точки, которые накануне стер соперник. Значит, у второго всегда будет ход, а поскольку в игре может быть сделано не более 16 ходов, хода в конце концов нет окажется у первого.