қазақша
русскийД. Ширяев
Есеп №1. $D$ және $E$ нүктелері, $AD=AE$ болатындай, $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің нүктелері. $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысқан нүктесін $H$ деп белгілейік. $A{{H}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ екені белгілі. $H$ нүктесі $DE$ кесінді бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында, $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы, ал $O$ нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі. $R-r=OM$ екені анықталды. $A$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $BC$ түзуін $D$ нүктесінде қияды, ал $C$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $AB$ түзуін $E$ нүктесінде қияды. $CED$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңыз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(5) олимпиада
Есеп №3. $ABC$ үшбұрышындағы $CL$ биссектрисасының жалғасы, сырттай сызылған шеңберді $K$ нүктесінде қияды. $I$ нүктесі іштей сызылған шеңбердің центрі. $IL=LK$ екені анықталды. $CI=IK$ екенін дәлелдеңіз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №4. Шеңберде, шеңберді тең доғаларға бөлетін 48 нүкте белгіленген. Екі ойыншы келесі ойын ойнайды, және олар кезектесіп жүреді. Бір жүрісте белгіленген нүктелердің ішінен дұрыс үшбұрыштың төбелері болатын үш нүктені, немесе квадраттың төбелері болатын төрт нүктені өшіруге болады. Қарсыластың әрекеттеріне қарамастан, дұрыс ойында кім жеңіске жетеді? Ойынды бірінші бастайтын ойыншы ма, әлде екінші жүрісті жүретін ойыншы ма? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. 40 гір бар. Кез-келген екі гірдің салмақтарының айырмашылығы 45 кг-нан аспайды. Кез келген 10 гірді келесі шарт орындалатындай бес гірден тұратын екі топқа бөлуге болады: әр топтағы гірлердің салмақтарының қосындыларының айырмашылығы 11 кг-нан аспайды. Салмақтарының айырмашылығы 1 кг-нан аспайтын екі гір табылатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Нөлге тең емес екі сан берілген (олардың бүтін болуы міндетті емес). Егер олардың әрқайсысын 1-ге ұлғайтса, онда олардың көбейтіндісі екі есе өседі. Ал егер әр санды квадраттап, сосын 1-ге кемітсе, онда олардың көбейтіндісі қалай өзгереді? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7. Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, роведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. Дан остроугольный треугольник $ABC,$ $AC \ne BC.$ Высоты, роведенные из вершин $A$ и $B,$ пересекаются в точке $H$ и пересекают биссектрису внешнего угла $C$ в точках $Y$ и $X$ соответственно. Биссектриса внешнего угла $AHB$ пересекает отрезки $AX$ и $BY$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что если $P X = QY,$ то $AP + BQ > 2CH.$ ( Д. Ширяев, Е. Лопатин )
комментарий/решение(4) олимпиада
Есеп №9. Дөңес $ABCD$ төртбұрышына $BC$ кесіндісінде $E$ нүктесі алынған. $AE$ кесіндісі төртбұрышты аудандары тең екі бөлікке бөледі. Төртбұрыштың қай төбесі $AE$ түзуінен ең алыс орналасқан? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(3) олимпиада