Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

Задача №1. На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах? ( Фольклор )
комментарий/решение(10)

Задача №2. Запишите четыре числа (не обязательно целых), среди которых нет одинаковых, чтобы выполнялось такое условие: если число

$x$ есть среди записанных, то хотя бы одно из чисел

$x-1$ или

$6x-1$ тоже есть среди записанных. ( И. Рубанов, С. Берлов )
комментарий/решение(2)

Задача №3. Внутри стороны

$BC$ выпуклого четырехугольника

$ABCD$ нашлась такая точка

$E$ , что прямая

$AE$ делит четырёхугольник на две равные по площади части. Какая из вершин четырехугольника находится дальше всех от прямой

$AE$ ? ( И. Рубанов, Д. Ширяев )
комментарий/решение(3)

Задача №4. Петя и Вася играют в такую игру. Вначале в каждой из 2022 коробок лежит по одной спичке. За один ход можно переложить все спички из любой непустой коробки в любую другую непустую коробку. Ходят по очереди, начинает Петя. Побеждает тот, после хода которого в какой-то коробке впервые окажется не меньше половины всех спичек. Кто победит при правильной игре? ( И. Рубанов )
комментарий/решение(12)

Задача №5. Делители натурального числа

$n$ (включая

$n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:

$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$ . Разности

$u_1 = d_2-d_1$ ,

$u_2 = d_3-d_2$ ,

$\ldots$ ,

$u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ оказались такими, что

$u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$ . Найдите все такие

$n$ . ( С. Берлов )
комментарий/решение(3)