Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Дистанционный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

Делители натурального числа

$n$ (включая

$n$ и 1), имеющего больше трёх делителей, выписали по возрастанию:

$1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$ . Разности

$u_1 = d_2-d_1$ ,

$u_2 = d_3-d_2$ ,

$\ldots$ ,

$u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ оказались такими, что

$u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$ . Найдите все такие

$n$ . ( С. Берлов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 10.
Решение. Пусть $n$ нечётно. Тогда $u_{k-1} = d_k-d_{k-1} \ge n-n/3 = 2n/3$ . При этом $u_{k-2} = d_{k-1}-d_{k-2} < d_{k-1} \le n/3$ , поэтому $u_{k-1}-u_{k-2} > n/3$ , но $u_{k-1}-u_{k-2} = u_{k-2}-u_{k-3} < u_{k-2} < n/3$ — противоречие. В случае чётного $n$ получится $u_{k-1} = d_k-d_{k-1} = n/2$ , $u_{k-2} = d_{k-1}-d_{k-2} = n/2-d_{k-2}$ , поэтому $u_{k-1}-u_{k-2} = d_{k-2}$ . Но $u_2-u_1 = d_3-2d_2+d_1 = d_3-3$ , что может быть равно $d_{k-2}$ только при $k = 4$ . Тогда $d_{k-2} = d_2 = 2$ , $d_3 = n/2 = d_2+3 = 5$ и $n = 10$ .