Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа


Кемінде үш бөлгіші бар натурал n санының барлық бөлгіштерін (n-ді және 1-ді қоса есептегенде) өсу ретімен жазып шыққан: 1=d1<d2<<dk=n. Сонда u1=d2d1, u2=d3d2, , uk1=dkdk1 айырмалары үшін u2u1=u3u2==uk1uk2 теңдіктері орындалған. Осындай барлық n санын табыңыздар. ( С. Берлов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 10.
Решение. Пусть n нечётно. Тогда uk1=dkdk1nn/3=2n/3. При этом uk2=dk1dk2<dk1n/3, поэтому uk1uk2>n/3, но uk1uk2=uk2uk3<uk2<n/3 — противоречие. В случае чётного n получится uk1=dkdk1=n/2, uk2=dk1dk2=n/2dk2, поэтому uk1uk2=dk2. Но u2u1=d32d2+d1=d33, что может быть равно dk2 только при k=4. Тогда dk2=d2=2, d3=n/2=d2+3=5 и n=10.

  1
1 года 9 месяца назад #

u2u1=d1+d32d2

u3u2=d2+d42d3

...

uk1uk2=dk2+dk2dk1

(uk1uk2)+(uk2uk3)+...+(u3u2)+(u2u1)=uk1u1=dk+d1d2dk1

Но так же,

(uk1uk2)+(uk2uk3)+...+(u3u2)+(u2u1)=d1+d2+...+dk2(d2+d3+...+dk1)=d1+dkd2d3...dk1

Приравниваем выражения:

dk+d1d2dk1=d1+dkd2d3...dk1

d3+...+dk2=0

Противоречие так как 1<d3<<dk2

Значит единственные остатки числа n: 1,d2,d3,n

u2u1=u3u2

1+d32d2=d2+n2d3

n1=3d33d2

n=d2d3

d2иd3 - простые числа

при d23:

d2d313d31

3d33d23d39

3d31>3d39

Противоречие.

при d2=2:

2d31=3d332

d3=5

остатки n: 1,2,5,10

Ответ: n = 10

  0
1 года 4 месяца назад #

В случае чётного n

получится

uk-1=dk-(dk-1)=n/2. Но u²-u¹=d³-2d²+d¹=d³-3, что может бытьравно как dk-2 только если k=4 . Тогда получится что dk-2=d²=2, d³=n/2=d²+3=5 и ответ n=10