Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 10.
Решение. Пусть n нечётно. Тогда uk−1=dk−dk−1≥n−n/3=2n/3. При этом uk−2=dk−1−dk−2<dk−1≤n/3, поэтому uk−1−uk−2>n/3, но uk−1−uk−2=uk−2−uk−3<uk−2<n/3 — противоречие. В случае чётного n получится uk−1=dk−dk−1=n/2, uk−2=dk−1−dk−2=n/2−dk−2, поэтому uk−1−uk−2=dk−2. Но u2−u1=d3−2d2+d1=d3−3, что может быть равно dk−2 только при k=4. Тогда dk−2=d2=2, d3=n/2=d2+3=5 и n=10.
u2−u1=d1+d3−2∗d2
u3−u2=d2+d4−2∗d3
...
uk−1−uk−2=dk−2+dk−2∗dk−1
(uk−1−uk−2)+(uk−2−uk−3)+...+(u3−u2)+(u2−u1)=uk−1−u1=dk+d1−d2−dk−1
Но так же,
(uk−1−uk−2)+(uk−2−uk−3)+...+(u3−u2)+(u2−u1)=d1+d2+...+dk−2(d2+d3+...+dk−1)=d1+dk−d2−d3−...−dk−1
Приравниваем выражения:
dk+d1−d2−dk−1=d1+dk−d2−d3−...−dk−1
d3+...+dk−2=0
Противоречие так как 1<d3<…<dk−2
Значит единственные остатки числа n: 1,d2,d3,n
u2−u1=u3−u2
1+d3−2∗d2=d2+n−2∗d3
n−1=3∗d3−3∗d2
n=d2∗d3
d2иd3 - простые числа
при d2≥3:
d2∗d3−1≥3∗d3−1
3∗d3−3∗d2≤3∗d3−9
3∗d3−1>3∗d3−9
Противоречие.
при d2=2:
2∗d3−1=3∗d3−3∗2
d3=5
остатки n: 1,2,5,10
Ответ: n = 10
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.