Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.
Ответ. 24.
Решение. Пусть на дискотеку пришли $m$ мальчиков и $d$ девочек. Обозначим мальчиков синими точками, девочек — красными и соединим отрезками мальчиков и девочек, не танцевавших друг с другом. Пусть всего получилось $k$ отрезков. Так как из каждой красной точки выходит 4 отрезка, а из каждой синей — 3 отрезка, и каждый отрезок соединяет красную и синюю точки, выполнены равенства $4d = k = 3m$, откуда $d = 3m/4$. По условию $m+d = m+3m/4 = 7m/4 = 42$, откуда $m = 24$.
Я всегда боялся таких задач, но их оказывается можно решить тупым способом:
$d-$количество мальчиков (соответственно $42-d$ это количество девочек), тогда посчитаем количество танцев: $(42-d)(d-4)/2$ с перспективы девочек и $d(39-d)/2$ с перспективы мальчиков, приравниваем их и находим $d$.
Ответ: $\boxed{d=24}$
Пусть $m$ - мальчики, соответсвенно $d$ - девочки, тогда $m+d=42$. Решим задачу с помощью подсчета двух вариантов, итак, каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх.
Составим уравнение:
$(m-4)d=(d-3)m$, подставляя следствие $d=42-m$, получим ответ $m=24,d=18$.
$\textbf{Шешуі.}$ Айталық дискотекаға $x$ ұл келді. Онда $42-x$ қыз келді. Әрбір қыз төрт ұлдан басқасының барлығымен билегенін ескерсек, барлығы $(42-x)(x-4)$ би болды. Ал енді әрбір үш қыздан басқасының барлығымен билегенін ескерсек, онда дискотекада барлығы $x(39-x)$ би болды. Демек,
$$(42-x)(x-4)=x(39-x).$$
Онда $x=24$.
$\textbf{Жауабы:} ~~24$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.