Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа

На дискотеку пришли 42 человека: мальчики и девочки. Каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх. Сколько мальчиков было на танцах? ( Фольклор )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.    
Ответ. 24.
Решение. Пусть на дискотеку пришли $m$ мальчиков и $d$ девочек. Обозначим мальчиков синими точками, девочек — красными и соединим отрезками мальчиков и девочек, не танцевавших друг с другом. Пусть всего получилось $k$ отрезков. Так как из каждой красной точки выходит 4 отрезка, а из каждой синей — 3 отрезка, и каждый отрезок соединяет красную и синюю точки, выполнены равенства $4d = k = 3m$, откуда $d = 3m/4$. По условию $m+d = m+3m/4 = 7m/4 = 42$, откуда $m = 24$.

Я всегда боялся таких задач, но их оказывается можно решить тупым способом:

$d-$количество мальчиков (соответственно $42-d$ это количество девочек), тогда посчитаем количество танцев: $(42-d)(d-4)/2$ с перспективы девочек и $d(39-d)/2$ с перспективы мальчиков, приравниваем их и находим $d$.

Ответ: $\boxed{d=24}$

Пусть $m$ - мальчики, соответсвенно $d$ - девочки, тогда $m+d=42$. Решим задачу с помощью подсчета двух вариантов, итак, каждая девочка потанцевала со всеми мальчиками, кроме четырёх, а каждый мальчик потанцевал со всеми девочками, кроме трёх.

Составим уравнение:

$(m-4)d=(d-3)m$, подставляя следствие $d=42-m$, получим ответ $m=24,d=18$.

Возьмем мальчиков как $x$,а девочек как $y$.Тогда $(x-4)y=(y-3)x$.Тогда $xy-4y=xy-3x$.Из этого следует что,$4y=3x$.Вспомним что $y=42-x$.Значит,$168-4x=3x$.И $x=24$

Уважаемый Абдуллаһ, вы скопировали что ли?

Успокойся а то уже весь матол бесиш.

Fr

$\textbf{Шешуі.}$ Айталық дискотекаға $x$ ұл келді. Онда $42-x$ қыз келді. Әрбір қыз төрт ұлдан басқасының барлығымен билегенін ескерсек, барлығы $(42-x)(x-4)$ би болды. Ал енді әрбір үш қыздан басқасының барлығымен билегенін ескерсек, онда дискотекада барлығы $x(39-x)$ би болды. Демек,

$$(42-x)(x-4)=x(39-x).$$

Онда $x=24$.

$\textbf{Жауабы:} ~~24$

Ұлдарды x деп алып,қыздарды y деп алайық. Онда (х- 4)•у=(у-3)•х. Ал х•у-4у=х•у-3х. Демек 4у=3х. 42-х=у ке тең болса,демек (42•4)-4х=3х

168=4х+3х

168=7х

Х=168:7

Х=24

Ұлдарды $x$ деп алып,қыздарды $y$ деп алайық. Онда $(х- 4)•у = (у-3)•х$. Ал $x•у - 4у = х•у - 3х$. Демек $4у = 3х$. $42 - х = у$ ке тең болса,демек $(42•4) - 4х = 3х$

$168 = 4х + 3х$

$168 = 7х$

$Х = 168:7$

$Х = 24$