қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2022-2023 учебный год, I тур дистанционного этапа
Есеп №1. Дискотекаға 42 адам келді: ұлдар мен қыздар. Әрбір қыз төрт ұлдан басқасының барлығымен биледі, ал әрбір ұл үш қыздан басқасының барлығымен биледі. Дискотекада неше ұл болған?
(
Фольклор
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)
Есеп №2. Келесі шартты қанағаттандыратын әртүрлі төрт сан жаз (сандар бүтін болуы міндетті емес): егер $x$ саны жазылғандардың ішінде болса, онда $x-1$ немесе $6x-1$ сандарының кемінде біреуі жазылғандардың қатарында бар.
(
И. Рубанов,
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. Дөңес $ABCD$ төртбұрышына $BC$ кесіндісінде $E$ нүктесі алынған. $AE$ кесіндісі төртбұрышты аудандары тең екі бөлікке бөледі. Төртбұрыштың қай төбесі $AE$ түзуінен ең алыс орналасқан?
(
И. Рубанов,
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №4. Петя мен Вася келесі ойын ойнайды. Бастапқыда 2022 қораптарының әрқайсысында бір сіріңкеден бар. Әр жүрісте қандай да бір бос емес қораптың ішіндегі барлық сіріңкелерді қандай да бір бос емес басқа қораптың ішіне салуға рұқсат. Балалар кезекпен жүреді, ойынды Петя бастайды. Егер ойыншы бірінші болып қандай бір қорапқа кем дегенде 1011 сіріңке жинаса, сол ойыншы жеңімпаз болып саналады. Дұрыс ойында кім жеңеді?
(
И. Рубанов
)
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)
Есеп №5. Кемінде үш бөлгіші бар натурал $n$ санының барлық бөлгіштерін ($n$-ді және 1-ді қоса есептегенде) өсу ретімен жазып шыққан: $1 = d_1 < d_2 < \ldots < d_k = n$. Сонда $u_1 = d_2-d_1$, $u_2 = d_3-d_2$, $\ldots$, $u_{k-1} = d_k-d_{k-1}$ айырмалары үшін $u_2-u_1 = u_3-u_2 = \ldots = u_{k-1}-u_{k-2}$ теңдіктері орындалған. Осындай барлық $n$ санын табыңыздар.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)