Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год
Задача №1. На футбольном поле тренировалось n футболистов — нападающих и вратарей.
Всего на тренировке было забито k голов. Докажите, что после тренировки
Фабио Капелло может так раздать номера от 1 до n игрокам, что
для любого гола разность между номерами нападающего и вратаря была
не менее n−k.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. В треугольнике ABC проведена медиана BD. Биссектрисы углов
ABD и ACB перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение
угла BAC.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Многочлен P(x,y) с вещественными коэффициентами таков,
что P(x+2y,x+y)=P(x,y). Докажите, что для некоторого многочлена Q(t)
имеет место равенство P(x,y)=Q((x2−2y2)2).
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Для каждого n представим число n! в виде ab2, где a свободно от квадратов.
Докажите, что для любого ε>0 при всех достаточно больших n выполнено неравенство
2(1−ε)n<a<2(1+ε)n.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель,
к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что
после выполнения нескольких операций получится число, кратное 32000.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Даны целые числа 0≤b≤c≤d≤a, причем a>14.
Докажите, что не всякое натуральное число n можно записать в виде
n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d),
где x, y, z — некоторые целые числа.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, точка O — центр описанной окружности.
Оказалось, что R−r=OM. Биссектриса внешнего угла при вершине A пересекает
прямую BC в точке D, а биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает
прямую AB в точке E. Найдите все возможные значения угла CED.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №8. На плоскости отмечено k(k+1)/2+1 точек, некоторые из которых соединили непересекающимися отрезками
(в том числе ни одна из точек не лежит на отрезке, соединяющим другие точки).
Оказалось, что плоскость разбилась на параллелограммы и бесконечную область.
Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?
(
А. Купавский,
А. Полянский
)
комментарий/решение
комментарий/решение