Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год


Задача №1.  На футбольном поле тренировалось n футболистов — нападающих и вратарей. Всего на тренировке было забито k голов. Докажите, что после тренировки Фабио Капелло может так раздать номера от 1 до n игрокам, что для любого гола разность между номерами нападающего и вратаря была не менее nk. ( С. Берлов )
комментарий/решение
Задача №2.  В треугольнике ABC проведена медиана BD. Биссектрисы углов ABD и ACB перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение угла BAC. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Многочлен P(x,y) с вещественными коэффициентами таков, что P(x+2y,x+y)=P(x,y). Докажите, что для некоторого многочлена Q(t) имеет место равенство P(x,y)=Q((x22y2)2). ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Для каждого n представим число n! в виде ab2, где a свободно от квадратов. Докажите, что для любого ε>0 при всех достаточно больших n выполнено неравенство 2(1ε)n<a<2(1+ε)n. ( М. Иванов )
комментарий/решение
Задача №5.  К натуральному числу прибавляют его наибольший собственный делитель, к получившемуся прибавляют его наибольший собственный делитель и т. д. Докажите, что после выполнения нескольких операций получится число, кратное 32000. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)
Задача №6.  Даны целые числа 0bcda, причем a>14. Докажите, что не всякое натуральное число n можно записать в виде n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d), где x, y, z — некоторые целые числа. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)
Задача №7.  В треугольнике ABC точка M — середина стороны AB, точка O — центр описанной окружности. Оказалось, что Rr=OM. Биссектриса внешнего угла при вершине A пересекает прямую BC в точке D, а биссектриса внешнего угла при вершине C пересекает прямую AB в точке E. Найдите все возможные значения угла CED. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(5)
Задача №8.  На плоскости отмечено k(k+1)/2+1 точек, некоторые из которых соединили непересекающимися отрезками (в том числе ни одна из точек не лежит на отрезке, соединяющим другие точки). Оказалось, что плоскость разбилась на параллелограммы и бесконечную область. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено? ( А. Купавский, А. Полянский )
комментарий/решение