Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год
Даны целые числа 0≤b≤c≤d≤a, причем a>14.
Докажите, что не всякое натуральное число n можно записать в виде
n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d),
где x, y, z — некоторые целые числа.
(
К. Кохась
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Обратите внимание, что ax2+bx≥0 специально для |x|>1 мы имеем ax2+bx≥a|x|≥30 (поскольку a>14 и |х|≥2).
Следовательно, для n<30 мы должны иметь |x|,|y|,|z|≤1, что означает, что они могут быть только 1,0,−1, и это дает не более 27 различных значений между 1. и 29, что означает, что существует n<30, который невозможно представить в указанной форме.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.