Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год

Даны целые числа $0\leq b\leq c\leq d\leq a$, причем $a > 14$. Докажите, что не всякое натуральное число $n$ можно записать в виде $$ n=x(ax + b) + y(ay + c) + z(az + d), $$ где $x$, $y$, $z$ — некоторые целые числа. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Обратите внимание, что $ax^2+bx\ge 0$ специально для $|x|>1$ мы имеем $ax^2+bx\ge a|x|\ge 30$ (поскольку $a>14$ и $| х|\ge 2$).

Следовательно, для $n<30$ мы должны иметь $|x|,|y|,|z|\leq 1$, что означает, что они могут быть только $1,0,-1$, и это дает не более 27 различных значений между $1$. и $29$, что означает, что существует $n<30$, который невозможно представить в указанной форме.