Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2015 жыл

$a > 14$ болатындай, $0\le b\le c\le d\le a$ сандары берілсін. Ешқандай $x$, $y$, $z$ бүтін сандары үшін $n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$ теңдеуі орындалмайтындай $n$ санының бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Обратите внимание, что $ax^2+bx\ge 0$ специально для $|x|>1$ мы имеем $ax^2+bx\ge a|x|\ge 30$ (поскольку $a>14$ и $| х|\ge 2$).

Следовательно, для $n<30$ мы должны иметь $|x|,|y|,|z|\leq 1$, что означает, что они могут быть только $1,0,-1$, и это дает не более 27 различных значений между $1$. и $29$, что означает, что существует $n<30$, который невозможно представить в указанной форме.