Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2015 жыл

Есеп №1. Футбол алаңында, құрамында шабуылдаушылар мен қақпашылары бар,

$n$ футболшы жаттықты. Жаттығуда барлығы

$k$ гол соғылды. Кез-келген соғылғын доп үшін шабуылдаушы мен қақпашының нөмірлерінің айырмасы

$n-k$ -дан кем емес болатындай, Фабио Капелло ойыншыларға, жаттығудан соң 1-ден

$n$ -ге дейінгі сандарды таратып бере алатынын дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$BD$ медианасы салынды.

$ABD$ және

$ACB$ бұрыштарының биссектрисалары өзара перпендикуляр.

$BAC$ бұрышының мүмкін ең үлкен мәнін табыңыз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Нақты коэффициенттері бар

$P\left( x,y \right)$ көпмүшесі,

$P\left( x+2y,x+y \right)=P\left( x,y \right)$ шартын қанағаттандырады. Кейбір

$Q\left( t \right)$ көпмүшесі үшін

$P\left( x,y \right)=Q\left( (x^2-2y^2)^2 \right)$ орындалатынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$a$ саны квадраттан бос болатындай, әрбір

$n$ үшін

$n!$ санын

$a{{b}^{2}}$ түрінде көрсетейік. Кез-келген

$\varepsilon > 0$ үшін, жеткілікті түрде үлкен

$n$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз:

${{2}^{(1-\varepsilon )n}} < a < {{2}^{(1+\varepsilon )n}}$ . ( М. Иванов )
комментарий/решение

Есеп №5. Натурал санға, осы санның ең үлкен бөлгішін қосады, сосын пайда болған санға осы санның ең ұлкен бөлгішін қосады, және т. т. Осындай бірнеше амал орындағаннан кейін, пайда болған сан

${{3}^{2000}}$ -не бөлінетінін дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №6.

$a > 14$ болатындай,

$0\le b\le c\le d\le a$ сандары берілсін. Ешқандай

$x$ ,

$y$ ,

$z$ бүтін сандары үшін

$n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$ теңдеуі орындалмайтындай

$n$ санының бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$ABC$ үшбұрышында,

$M$ нүктесі

$AB$ қабырғасының ортасы, ал

$O$ нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі.

$R-r=OM$ екені анықталды.

$A$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы

$BC$ түзуін

$D$ нүктесінде қияды, ал

$C$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы

$AB$ түзуін

$E$ нүктесінде қияды.

$CED$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңыз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение(5)

Есеп №8. Жазықтықта белгіленген

$k(k+1)/2+1$ нүктелердің кейбіреулері, қиылыспайтын кесінділермен байланысқан. (екі нүктені қосатын кесіндіде, басқа ешқандай нүкте орналаспайды). Жазықтық, параллелограмдарға және шексіз аймаққа бөлінгені анықталды. Ең көп дегенде неше кесінді салынуы мүмкін? ( А. Купавский, А. Полянский )
комментарий/решение