қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2015 жыл
Есеп №1. Футбол алаңында, құрамында шабуылдаушылар мен қақпашылары бар, $n$ футболшы жаттықты. Жаттығуда барлығы $k$ гол соғылды. Кез-келген соғылғын доп үшін шабуылдаушы мен қақпашының нөмірлерінің айырмасы $n-k$-дан кем емес болатындай, Фабио Капелло ойыншыларға, жаттығудан соң 1-ден $n$-ге дейінгі сандарды таратып бере алатынын дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $BD$ медианасы салынды. $ABD$ және $ACB$ бұрыштарының биссектрисалары өзара перпендикуляр. $BAC$ бұрышының мүмкін ең үлкен мәнін табыңыз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Нақты коэффициенттері бар $P\left( x,y \right)$ көпмүшесі, $P\left( x+2y,x+y \right)=P\left( x,y \right)$ шартын қанағаттандырады. Кейбір $Q\left( t \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( x,y \right)=Q\left( (x^2-2y^2)^2 \right)$ орындалатынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $a$ саны квадраттан бос болатындай, әрбір $n$ үшін $n!$ санын $a{{b}^{2}}$ түрінде көрсетейік. Кез-келген $\varepsilon > 0$ үшін, жеткілікті түрде үлкен $n$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: ${{2}^{(1-\varepsilon )n}} < a < {{2}^{(1+\varepsilon )n}}$.
(
М. Иванов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. Натурал санға, осы санның ең үлкен бөлгішін қосады, сосын пайда болған санға осы санның ең ұлкен бөлгішін қосады, және т. т. Осындай бірнеше амал орындағаннан кейін, пайда болған сан ${{3}^{2000}}$-не бөлінетінін дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. $a > 14$ болатындай, $0\le b\le c\le d\le a$ сандары берілсін. Ешқандай $x$, $y$, $z$ бүтін сандары үшін $n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$ теңдеуі орындалмайтындай $n$ санының бар екенін дәлелдеңіз.
(
К. Кохась
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $ABC$ үшбұрышында, $M$ нүктесі $AB$ қабырғасының ортасы, ал $O$ нүктесі сырттай сызылған шеңбердің центрі. $R-r=OM$ екені анықталды. $A$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $BC$ түзуін $D$ нүктесінде қияды, ал $C$ төбесінің сыртқы бұрышының биссектрисасы $AB$ түзуін $E$ нүктесінде қияды. $CED$ бұрышының барлық мүмкін мәндерін табыңыз.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Есеп №8. Жазықтықта белгіленген $k(k+1)/2+1$ нүктелердің кейбіреулері, қиылыспайтын кесінділермен байланысқан. (екі нүктені қосатын кесіндіде, басқа ешқандай нүкте орналаспайды). Жазықтық, параллелограмдарға және шексіз аймаққа бөлінгені анықталды. Ең көп дегенде неше кесінді салынуы мүмкін?
(
А. Купавский,
А. Полянский
)
комментарий/решение
комментарий/решение