Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год

Многочлен $P(x,y)$ с вещественными коэффициентами таков, что $P(x+2y, x+y)=P(x,y)$. Докажите, что для некоторого многочлена $Q(t)$ имеет место равенство $P(x,y)=Q\left((x^2-2y^2)^2\right)$. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Хорошая замена полинома может сделать проблему тривиальной, чтобы увидеть, как можно найти преобразование, просто обратите внимание, что вы можете рассматривать вещи как матрицу, и мы хотим, чтобы матрица умножалась, чтобы получить что-то проще и, следовательно, определение $R$. пропустим утомительные вычисления по поиску $R$ и просто воспользуемся им. Сначала мы определяем $P(x,y)=R(x+\sqrt{2} y,x- \sqrt{2} y)$, затем положив $z=x+\sqrt{2} y,t=x- \sqrt{2} y$ условие состоит в том, что $R(z,t)=Q((1+\sqrt{2} )z ,(1- \sqrt{2})t)$ Это легко решить, нам просто нужно сравнить коэффициенты. Пусть $R(x,y)=\sum\limits_{i+j<N} a_{ij}z^it^j $ тогда мы должны иметь $(1+\sqrt{2})^i(1-\sqrt{2})^j=1$ для любого ненулевого монома. Это означает, что любой ненулевой коэффициент некоторого $z^it^ j$ удовлетворяет $i=j \equiv 0 \pmod 2$, что означает, что $R(x,y)=Q((xy)^2)$ для некоторого полинома $Q$, который равен $P(x,y)=Q ((x^2-2y^2)^2)$