Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2015 год

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BD$. Биссектрисы углов $ABD$ и $ACB$ перпендикулярны. Найдите наибольшее возможное значение угла $BAC$. ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Заметим что, $\angle A<90$ и $\angle DBC = \angle BAC$ .Поэтому $$BC^2 = DC * AC =2 * DC^2$$ $$BC=\sqrt{2}*DC$$ $$BC*\sqrt{2}=AC$$ $$AC/BC=\sqrt{2}$$. По теореме синусов в $\triangle ABC$ $$\sin \angle B/\sin \angle A=AC/BC=\sqrt{2}$$. Допустим $\angle A>45$. Тогда $$\sin \angle A>\sqrt{2}/2$$ $$\sin \angle A*\sqrt{2}>\sqrt{2}/2*\sqrt{2}=1 \geq \sin \angle B$$. Поэтому $\angle A\leq45$. Наибольшее значение $\angle A=45$.