қазақша
русскийМатематикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2002 жыл
Есеп №1. $ABCDEF$ алтыбұрышы жазықтығының әртүрлі жағында жатқан, $G$ және $H$ нүктелері осы алтыбұрыштың әрбір төбесімен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3, $\ldots$, 18 сандарын, ал $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$, $H$ нүктелеріне кейбір нақты сандарды, әрбір кесіндіде, төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатын сан жазылатындай орналастыруға болады ма?
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №2. Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң $a$, $b$ және $c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер: $\dfrac{1+ab}{1+a}+\dfrac{1+bc}{1+b}+\dfrac{1+cd}{1+c}+\dfrac{1+da}{1+d}\ge 4.$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Есеп №3. ${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрышын құрайтындай, $ABC$үшбұрышына іштей сызылған шеңбермен центрлeс шеңбер, үшбұрыштың қабырғаларын алты нүктеде қияды(${{A}_{1}}$ және ${{A}_{2}}$ нүктелері $BC$ қабырғасында, ${{B}_{1}}$ және ${{B}_{2}}$ нүктелері $AC$ қабырғасында, ${{C}_{1}}$ және ${{C}_{2}}$ нүктелері $AB$ қабырғасында жатыр). Егер ${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі $B$ бұрышының биссектрисасына параллель болса, ${{A}_{2}}{{C}_{2}}$ түзуі $C$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. 2001 жолы және 2002 бағаны бар тікбұрышты тақта, $1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөлінген. Кез-келген басқа, осы тақтаның $1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөліндісінде, алғашқы бөліндіде де кездесетін тіктөртбұрыш бар екендігі белгілі. Алғашқы бөліндіде 2001 горизонтал тіктөртбұрыштарымен толтырылған, екі көршілес баған бар екенін дәлелдеңіз.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. $c$ натурал саны берілсін. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады: ${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал ${{p}_{k+1}}$ саны, $k\ge 1$ үшін, ${{p}_{1,}}$ ${{p}_{2,}}$ $\ldots$, ${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін ${{p}_{k}}+c$ санының кез-келген жай бөлгіші. $\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №6. $f(3x-2)\le f(x)\le f(2x-1)$ теңсіздігі кез-келген $x$ үшін орындалатындай, барлық нақты сандар жиынында берілген және үзіліссіз болатын барлық $f(x)$ функцияларын табыңыз.
(
А. Голованов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №7. $D$ және $E$ нүктелері, $AD=AE$ болатындай, $ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің нүктелері. $ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысқан нүктесін $H$ деп белгілейік. $A{{H}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ екені белгілі. $H$ нүктесі $DE$ кесінді бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Д. Ширяев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №8. $\alpha $ нақты саны берілсін. ${{n}_{1}} < {{n}_{2}} < {{n}_{3}} < \ldots$ тізбегі, $\left\{ n\alpha \right\} < \dfrac{1}{10}$ теңсіздігі орындалатындай барлық $n$ натурал сандарынан құралған. ${{n}_{2}}-{{n}_{1}}$, ${{n}_{3}}-{{n}_{2}}$, ${{n}_{4}}-{{n}_{3}}$, $\ldots$ сандары арасында әртүрлі сандар саны үштен көп емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение
комментарий/решение