Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2002 жыл

Есеп №1.

$ABCDEF$ алтыбұрышы жазықтығының әртүрлі жағында жатқан,

$G$ және

$H$ нүктелері осы алтыбұрыштың әрбір төбесімен байланысқан. Пайда болған 18 кесіндіге 1, 2, 3,

$\ldots$ , 18 сандарын, ал

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$D$ ,

$E$ ,

$F$ ,

$G$ ,

$H$ нүктелеріне кейбір нақты сандарды, әрбір кесіндіде, төбелеріндегі сандардың айырмасына тең болатын сан жазылатындай орналастыруға болады ма? ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №2. Көбейтіндісі 1-ге тең болатын оң

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары үшін келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер:

$\dfrac{1+ab}{1+a}+\dfrac{1+bc}{1+b}+\dfrac{1+cd}{1+c}+\dfrac{1+da}{1+d}\ge 4.$ ( А. Храбров )
комментарий/решение(4)

Есеп №3.

${{A}_{1}}{{A}_{2}}{{B}_{1}}{{B}_{2}}{{C}_{1}}{{C}_{2}}$ дөңес алтыбұрышын құрайтындай,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбермен центрлeс шеңбер, үшбұрыштың қабырғаларын алты нүктеде қияды(

${{A}_{1}}$ және

${{A}_{2}}$ нүктелері

$BC$ қабырғасында,

${{B}_{1}}$ және

${{B}_{2}}$ нүктелері

$AC$ қабырғасында,

${{C}_{1}}$ және

${{C}_{2}}$ нүктелері

$AB$ қабырғасында жатыр). Егер

${{A}_{1}}{{B}_{1}}$ түзуі

$B$ бұрышының биссектрисасына параллель болса,

${{A}_{2}}{{C}_{2}}$ түзуі

$C$ бұрышының биссектрисасына параллель екенін дәлелдеңіз. ( С. Берлов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. 2001 жолы және 2002 бағаны бар тікбұрышты тақта,

$1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөлінген. Кез-келген басқа, осы тақтаның

$1\times 2$ тіктөртбұрыштарына бөліндісінде, алғашқы бөліндіде де кездесетін тіктөртбұрыш бар екендігі белгілі. Алғашқы бөліндіде 2001 горизонтал тіктөртбұрыштарымен толтырылған, екі көршілес баған бар екенін дәлелдеңіз. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение

Есеп №5.

$c$ натурал саны берілсін.

$\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі келесі ереже бойынша құрастырылады:

${{p}_{1}}$ кез-келген жай сан, ал

${{p}_{k+1}}$ саны,

$k\ge 1$ үшін,

${{p}_{1,}}$

${{p}_{2,}}$

$\ldots$ ,

${{p}_{k.}}$ сандары құрамында кездеспейтін

${{p}_{k}}+c$ санының кез-келген жай бөлгіші.

$\left\{ {{p}_{k}} \right\}$ тізбегі шексіз бола алмайтынын дәлелдеңіз. ( А. Голованов )
комментарий/решение

Есеп №6.

$f(3x-2)\le f(x)\le f(2x-1)$ теңсіздігі кез-келген

$x$ үшін орындалатындай, барлық нақты сандар жиынында берілген және үзіліссіз болатын барлық

$f(x)$ функцияларын табыңыз. ( А. Голованов )
комментарий/решение(1)

Есеп №7.

$D$ және

$E$ нүктелері,

$AD=AE$ болатындай,

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің нүктелері.

$ABC$ үшбұрышының биіктіктерінің қиылысқан нүктесін

$H$ деп белгілейік.

$A{{H}^{2}}=B{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}$ екені белгілі.

$H$ нүктесі

$DE$ кесінді бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Д. Ширяев )
комментарий/решение

Есеп №8.

$\alpha$ нақты саны берілсін.

${{n}_{1}} < {{n}_{2}} < {{n}_{3}} < \ldots$ тізбегі,

$\left\{ n\alpha \right\} < \dfrac{1}{10}$ теңсіздігі орындалатындай барлық

$n$ натурал сандарынан құралған.

${{n}_{2}}-{{n}_{1}}$ ,

${{n}_{3}}-{{n}_{2}}$ ,

${{n}_{4}}-{{n}_{3}}$ ,

$\ldots$ сандары арасында әртүрлі сандар саны үштен көп емес екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение