Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2002 год

Найдите все функции $f(x)$, заданные и непрерывные на всей вещественной прямой, для которых при любом $x$ выполняются неравенства $$f(3x-2)\leq f(x)\leq f(2x-1).$$ ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Решение: подставим $\frac{x}2+1,\frac{x}3+1$ вместо $x$ в исходное неравенство $$f(\frac{x}2+1)\le f(x+1)\le f(\frac{x}3+1)$$ $$f(\frac{x}{2^n}+1)\le f(x+1)\le f(\frac{x}{3^n}+1)\forall n\in\mathbb{N}$$ Устремим $n$ к бесконечности. Ясно, что из непрерывности правая и левая части стремятся к $f(1)$, следовательно по теореме о двух милиционерах $$f(x+1)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x+1)=f(1)=\text{const}$$

Очевидно такая функция удовлетворяет условию

Ответ: $f(x)=\text{const}\forall x\in\mathbb{R}$