Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2002 жыл

$f(3x-2)\le f(x)\le f(2x-1)$ теңсіздігі кез-келген $x$ үшін орындалатындай, барлық нақты сандар жиынында берілген және үзіліссіз болатын барлық $f(x)$ функцияларын табыңыз. ( А. Голованов )

Комментарий/решение

Решение: подставим $\frac{x}2+1,\frac{x}3+1$ вместо $x$ в исходное неравенство $$f(\frac{x}2+1)\le f(x+1)\le f(\frac{x}3+1)$$ $$f(\frac{x}{2^n}+1)\le f(x+1)\le f(\frac{x}{3^n}+1)\forall n\in\mathbb{N}$$ Устремим $n$ к бесконечности. Ясно, что из непрерывности правая и левая части стремятся к $f(1)$, следовательно по теореме о двух милиционерах $$f(x+1)=\lim_{n\rightarrow\infty}f(x+1)=f(1)=\text{const}$$

Очевидно такая функция удовлетворяет условию

Ответ: $f(x)=\text{const}\forall x\in\mathbb{R}$