Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа


Задача №1.  В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в точке X. Оказалось, что ABCX — параллелограмм и BD=CX; BE=AX. Докажите, что AE=CD. ( С. Берлов )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Докажите, что для любого целого неотрицательного числа k, не превосходящего 202220212, существуют такие 2022 числа, что все их 202220212 попарные суммы различны и среди этих сумм ровно k положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов) ( И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Положительные числа a, b, c и d не превосходят единицы. Докажите неравенство 1a2+b2+c2+d214+(1a)(1b)(1c)(1d). ( А. Храбров )
комментарий/решение(2)
Задача №4.  В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1)
результаты