Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа
Задача №1. В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали AD и CE пересекаются в точке X. Оказалось, что ABCX — параллелограмм и BD=CX; BE=AX. Докажите, что AE=CD.
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа k, не превосходящего 2022⋅20212, существуют такие 2022 числа, что все их 2022⋅20212 попарные суммы различны и среди этих сумм ровно k положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов)
(
И. Рубанов,
С. Берлов,
Л. Самойлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Положительные числа a, b, c и d не превосходят единицы. Докажите неравенство 1a2+b2+c2+d2≥14+(1−a)(1−b)(1−c)(1−d).
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)