қазақша
русскийОлимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа
Есеп №1. В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD = CX;$ $BE = AX.$ Докажите, что $AE = CD.$
(
С. Берлов
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. Докажите, что для любого целого неотрицательного числа $k$, не превосходящего $\frac{2022\cdot 2021}{2},$ существуют такие 2022 числа, что все их $\frac{2022\cdot 2021}{2}$ попарные суммы различны и среди этих сумм ровно $k$ положительных. (И. Рубанов, С. Берлов, Л. Самойлов)
(
И. Рубанов,
С. Берлов,
Л. Самойлов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. Положительные числа $a,$ $b,$ $c$ и $d$ не превосходят единицы. Докажите неравенство $$\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}}\ge \frac{1}{4}+(1-a)(1-b)(1-c)(1-d).$$
(
А. Храбров
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей.
(
М. Антипов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)