Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ диагонали $AD$ и $CE$ пересекаются в точке $X$. Оказалось, что $ABCX$ — параллелограмм и $BD = CX;$ $BE = AX.$ Докажите, что $AE = CD.$ ( С. Берлов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Заметим, что $AB = CX = BD;$ $BC = AX = BE$ и $\angle ABD = 180^\circ-2\angle BAD = 180^\circ-2\angle BCE = \angle CBE,$ откуда $\angle ABE = \angle CBD.$ Следовательно, треугольники $ABE$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AE = CD.$

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Проведем отрезок $BX$. У трапеции $ABXE$ равны диагонали $AX$ и $BE,$ поэтому она — равнобедренная, то есть $AE = BX.$ Аналогично из равнобедренной трапеции $BCDX$ получаем $CD = BX.$ Следовательно, $AE = BX = CD.$