Решения: Олимпиада им. Леонарда Эйлера, Заключительный этап

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2021-2022 учебный год, II тур заключительного этапа

В выпуклом пятиугольнике

$ABCDE$ диагонали

$AD$ и

$CE$ пересекаются в точке

$X$ . Оказалось, что

$ABCX$ — параллелограмм и

$BD = CX;$

$BE = AX.$ Докажите, что

$AE = CD.$ ( С. Берлов )

посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Заметим, что $AB = CX = BD;$ $BC = AX = BE$ и $\angle ABD = 180^\circ-2\angle BAD = 180^\circ-2\angle BCE = \angle CBE,$ откуда $\angle ABE = \angle CBD.$ Следовательно, треугольники $ABE$ и $DBC$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому $AE = CD.$

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Проведем отрезок $BX$ . У трапеции $ABXE$ равны диагонали $AX$ и $BE,$ поэтому она — равнобедренная, то есть $AE = BX.$ Аналогично из равнобедренной трапеции $BCDX$ получаем $CD = BX.$ Следовательно, $AE = BX = CD.$