М. Антипов

Задача №1. В клетках доски

$8 \times 8$ расставлены числа

$1$ и

$-1$ (в каждой клетке — по одному числу). Рассмотрим всевозможные расположения четырёхклеточной фигурки

на доске (фигурку можно поворачивать, но её клетки не должны выходить за пределы доски). Назовём такое расположение неудачным, если сумма чисел, стоящих в четырёх клетках фигурки, не равна 0. Найдите наименьшее возможное число неудачных расположений. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. На клетчатой доске размером

$2014 \times 2014$ закрашено несколько (не меньше одной) клеток так, что в каждом квадратике размером

$3 \times 3$ клетки закрашено чётное число клеток. Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. На доске записаны 2010 натуральных чисел. Разрешается стереть любую пару чисел

$x$ ,

$y$ (в которой

$y > 1$ ) и записать вместо них либо пару чисел

$2x+1$ ,

$y-1$ , либо пару

$2x+1$ ,

${1\over 4}(y-1)$ (если

$y-1$ делится на 4). Например, стерев числа 3 и 5, можно написать пару 7 и 4, либо пару 7, 1 (приняв

$x=3$ ,

$y=5$ ), либо пару 11, 2 (приняв

$x=5$ ,

$y=3$ ). Такие операции провели несколько раз, причем при первой операции были стерты числа 2006 и 2008. Докажите, что на доске не сможет появиться вновь первоначальный набор чисел. ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. На доске написаны числа 1, 2,

$\ldots,$ 1000. Разрешается стереть любые два числа

$a$ и

$b$ и записать вместо них числа

$ab$ и

$a^2+b^2.$ Можно ли такими операциями добиться, чтобы среди чисел, написанных на доске, было хотя бы 700 одинаковых? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Калькулятор умеет возводить число в квадрат, а также умеет прибавлять 1, но при этом прибавлять 1 два раза подряд нельзя. За несколько таких операций он получил из числа

$x$ число

$S$ , причем

$S > x^n+1$ (

$x,n, S$ — натуральные). Докажите, что

$S\geq x^n+x-1$ . ( М. Антипов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. На доске

$n \times n$

$(n > 1)$ отмечено

$k$ клеток. Требуется переставить строки и столбцы так, чтобы все отмеченные клетки оказались не ниже главной диагонали. При каком наибольшем

$k$ это гарантированно возможно? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. На доске

$100 \times 100$ отмечено 110 клеток. Верно ли, что можно так переставить строки и столбцы, чтобы все клетки отмеченные оказались не ниже главной диагонали? ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Есть куча из

$2021^{2021}$ камней. За один ход можно разбить любую кучу на две части, количества камней в которых отличаются на степень двойки с целым неотрицательным показателем. После нескольких ходов оказалось, что количество камней в каждой кучке — степень двойки с целым неотрицательным показателем. Докажите, что было сделано четное число ходов. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей. ( М. Антипов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. В Тридевятом царстве 100 городов, и каждые два города соединены не более чем одной дорогой. Однажды царь приказал ввести на каждой дороге одностороннее движение, а заодно покрасить каждую дорогу в белый или черный цвет. Министр транспорта с гордостью сообщил, что после выполнения приказа из любого города в любой другой можно добраться по дорогам, чередуя их цвета, причем так, что первая дорога в пути будет белой. Какое наименьшее количество дорог могло быть в этой стране? Добираясь из города в город, можно проезжать через промежуточные города любое число раз. ( М. Антипов )
комментарий/решение(8) олимпиада